Чтение онлайн

Рис. 8.

Для каждого числа n существует только одна магическая сумма s, которую легко найти. Так как сумма чисел в каждом столбце равна s, а столбцов — n, то сумма всех чисел в магическом квадрате равна ns.

Но сумма всех чисел от 1 до n2 равна

1 + 2 +… + n2 = ½ (n2 + 1) n2,

что следует из формулы для суммы n членов арифметической прогрессии. Так как

n s = ½ (n2 + 1) n2,

то

s = ½ n (n2 + 1). (1.5.1)

Таким

образом, если число n задано, то число s определено. Магические квадраты могут быть построены для любого числа n, которое больше 2; читатель легко может убедиться, что их не существует для n = 2.

Во времена средневековья странные свойства этих квадратов считались волшебными и поэтому магические квадраты служили талисманами, защищающими тех, кто их носил, от многих несчастий. Часто воспроизводится магический квадрат, присутствующий на знаменитой гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия» (она помещена на фронтисписе нашей книги). Этот квадрат воспроизведен с большим увеличением на рис. 9; при этом мы получили также возможность увидеть, как во времена Дюрера изображались цифры. Средние числа в последней строке изображают год, — 1514, в котором, как мы знаем, была создана эта гравюра. Возможно, что Дюрер, положив в основу именно эти числа, нашел остальные методом проб и ошибок. Можно доказать, что при n = 3 имеется лишь один магический квадрат, а именно квадрат, изображенный на рис. 7. Докажем этот факт. Для этого напишем числовой квадрат 3 × 3 в общем виде

и выясним, какими могут быть эти девять чисел.

Рис. 9.

Вначале покажем, что центральное число y2 должно равняться 5. Из формулы (1.5.1) следует, что при n = 3 магическая сумма s равна 15. Просуммируем теперь числа во второй строке, втором столбце и обеих диагоналях. В эту сумму каждое число, кроме числа y2, входит по одному разу; число у2 входит четыре раза, так как оно содержится в каждой из четырех сумм. Поэтому, так как каждая сумма равна s, то

4s = 4 × 15 = 60 =

= x2 + y2 + z2 + y1 + y2 + y3 + x1 + у2 + z3 + z1 + y2 + x3 = Зy2 + x1 + x2 + x3 + y1 + y2 + y3 + z1 + z2 + z3 =

= 3y2 + 1 + 2 +… + 9 = 3y2 + 45.

Следовательно,

Зy2 = 60–45 = 15 и y2 = 5.

В таблице

число 9

не может стоять в углу, так как, если, например, x1 = 9, то z3 = 1 (потому что s = 15), т. е. мы получили бы таблицу

Каждое из четырех чисел y1, z1, x2, х3 должно быть меньше шести, так как y1 + z1 = х2 + х3 = 6. Но у нас осталось лишь три числа, меньших шести, а именно: 2, 3 и 4. Таким образом, получилось противоречие. Отсюда мы делаем вывод, что число 9 должно находиться в середине строки или столбца, поэтому наш квадрат может быть записан так:

Число 7 не может быть в одной и той же строке с числом 9, так как тогда сумма чисел в этой строке была бы больше пятнадцати; точно так же число 7 не может быть в одной и той же строке с числом 1, так как тогда оставшееся в этой строке число должно было бы быть также семеркой. Таким образом, 7 не может находиться в углу, и мы можем считать, что наш квадрат имеет следующий вид:

Числа, находящиеся в одной строке с числом 9 — это 2 и 4, так как иначе сумма в этой строке была бы больше пятнадцати. Далее, число 2 должно быть в том же столбце, что и число 7, так как если бы там стояло 4, то третье число в этом столбце было бы тоже 4. Используя это наблюдение, мы можем определить место каждого из двух оставшихся чисел 6 и 8, в результате получаем магический квадрат, изображенный на рис. 7.

Для больших значений n можно построить великое множество магических квадратов. В XVI и XVII веках, и даже позже, составление магических квадратов столь же процветало, как и составление кроссвордов в наши дни. Бенджамин Франклин [2] был страстным любителем магических квадратов. Он позже признавался, что, будучи служащим Законодательного Собрания штата Пенсильвания, он скрашивал скучные часы на службе составлением причудливых магических квадратов и даже магических кругов, в которых числа «стоят на переплетающихся окружностях, причем сумма чисел на каждой из окружностей одна и та же. Следующий эпизод взят нами из Собрания сочинений Бенджамина Франклина [3] .

О магических квадратах Б. Франклина стало известно, когда один из его старых друзей, Логан, показал ему несколько книг о магических квадратах, заметив при этом, что не верит в то, что кто-либо из англичан мог бы сделать что-либо замечательное в этой области.

«Логан показал мне в одной из этих книг несколько необычных и довольно любопытных случаев, но ни один из них не мог сравниться с теми, которые, как я помню, были сделаны мною. Он попросил меня показать их. И в следующее свое посещение я принес ему квадрат 8 × 8, который я нашел среди своих старых бумаг и который я предлагаю вам с описанием его свойств» (рис. 10).