Приглашение в теорию чисел
Шрифт:
Система задач 4.4.
1. К(360, 1970) = 70 920, К(30, 365) = 2190.
2. К(220, 284)= 15620, K(1184, 1210) = 716 320, К(2620, 2924) =1 915 220, К(5020, 5564) = 6 982 820.
Система задач 5.2.
1. m = 8, n = 1: (16, 63, 65), n = 3: (24, 55, 73), n = 5: (80, 39, 89), n = 7: (112, 15, 113),
m = 9, n = 2: (36, 77, 85), n = 4: (64, 65, 97), n = 8: (144, 17, 145),
m =10, n = 1: (20, 99, 101), n = 3: (60, 91, 109), n = 7: (140, 51, 149), n = 9: (180, 19, 181).
2. Нет.
2mn = 2m1n1, m2 — n2 = m12 — n12, m2 + n2 = m12 + n12,
то отсюда следовало бы, что
m2 = m12, n2 = n12 или m = m1, n = n1.
3. Если число с является величиной гипотенузы пифагорова треугольника, то произведение kс, где k — любое целое число, обладает теми же свойствами. Таким образом, достаточно рассмотреть лишь значения с ≤ 100, которые не имеют делителей и могут быть величиной гипотенузы. Соответствующие
[…]
Система задач 8.2.
2. Для с = 19 последние два члена в формуле (8.2.2) можно заменить числом 1, поскольку тогда [1/4 c] — 2c ≡ 1 (mod 7).
Система задач 8.3.
2. Когда r = 2, исключительный случай попадает на х = 1, следовательно, 1 играет с 8, а 8 играет с 1.
Для других значений х = 2, 3…, 7
y ≡ 2 — х ≡ 9 — х (mod 7),
т. е. соответственно у = 7, 6…, 2.
3. Команда N — 1 играет с
y ≡ r — (N — 1) ≡ r (mod (N — 1))
в r– м туре. Команда N — 1 может быть исключительной командой, если
2(N— 1) ≡ (mod (N— 1)),
следовательно, r = N — 1 и тогда команда N — 1 играет с командой N.
4. Условие (8.3.2) симметрично относительно х и уr, когда х — обычная команда. Если х удовлетворяет условию (8.3.3), то эта команда играет с командой N и, по определению, команда N играет с командой х.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таково наше приглашение в теорию чисел. Если она заинтересовала вас и вы хотите познакомиться с ней поближе, то для этого следует прочесть какой-нибудь систематический курс теории чисел, например,
И. М. Виноградов. Основы теории чисел. — М: Наука, 1972.
Существует также ряд популярных книг, освещающих отдельные вопросы теории чисел. Из них мы рекомендуем вам следующие:
Н. Н. Воробьев. Признаки делимости. — М: Наука, 1980.
Л. А. Калужнин. Основная теорема арифметики. — М.: Наука, 1969.
В. Серпинский. О решении уравнений в целых числах. — М.: Физматгиз. 1963.
В. Серпинский. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. — М. — Л.: Физматгиз, 1961.
В. Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. — М.: Просвещение, 1968.
А. Я. Хинчин. Три жемчужины теории чисел. — М.: Наука, 1979.
М. М. Постников. Теорема Ферма. — М.: Наука, 1978.