Чтение онлайн

Рассмотрим на примерах, каким путем может появиться такая упорядоченность.

Первый пример. По тропинке катится зубчатое колесо, оставляя упорядоченную цепочку точек. Ее упорядоченность — следствие другой упорядоченности. Из колеса упорядоченность «перекатывается» в тропинку.

Другой пример. Вы идете по заснеженной тропинке, и если идете равномерно, то появится пространственная упорядоченность — ваши следы. И в данном случае она есть следствие другой упорядоченности — периодичности во времени ваших шагов. Подобные структуры часто встречаются в природе. Например, язык отступающего, пульсирующего ледника оставляет последовательность конечных морен.

Еще пример. Дорога вначале была выложена одинаковыми бетонными плитами, а затем заасфальтирована. Если вдруг ударит сильный мороз, то асфальт лопнет, причем по стыкам плит, и дорога покроется трещинами, расположенными на одинаковом расстоянии одна от другой. В данном случае периодическая структура — также «слепок» с другой скрытой структуры. Нас же в наибольшей

степени интересует процесс самоорганизации упорядоченных структур, появляющихся при отсутствии какой-либо внешней или первоначальной периодичности.

Представим бесконечно длинный однородный упругий брусок, свободно лежащий на ровной поверхности. Начнем его равномерно охлаждать. При этом в нем возникнут растягивающие напряжения x. Как только они достигнут предела прочности, брусок разорвется. Так как условия однородны, то образование разрыва может произойти в любом месте.

До образования разрыва между бруском и поверхностью силы трения (касательные напряжения) отсутствовали — он лежал свободно, и растягивающие напряжения уравновешивались силами внутреннего сцепления в бруске. После разрыва растягивающие напряжения у образовавшегося края бруска перестают уравновешиваться, и под действием этих неуравновешенных сил края бруска сжимаются, разрыв при этом расширяется. В движение будут вовлекаться все большие отрезки бруска. Это будет происходить до тех пор, пока сила трения, появившаяся под движущейся частью бруска (а она пропорциональна длине этой части), не уравновесит упругие силы, действующие со стороны ненарушенной части бруска, после чего движение краев бруска прекратится. Определим распределение растягивающих напряжений в бруске вблизи разрыва. Поместим центр координат в точку разрыва и выделим вблизи ее элементарный отрезок бруска длиной x (рис. 13). Запишем для него баланс сил. Небольшим изменением длины бруска за счет образования разрыва, деформациями сдвига в тонком бруске и силой инерции пренебрегаем. С одной стороны, на вертикальную грань отрезка бруска действует внутренняя сила Fx = xh, где h — толщина бруска, с другой — Fx-x = x-xh. Результирующая этих сил F = xh. Она уравновешивается касательным усилием — силой трения, приложенной к основанию отрезка: Q = Txx, где Tx — критическое касательное напряжение в основании бруска. Оно зависит от давления бруска на основание и от шероховатости поверхности. Для принятых однородных условий Tx = const = K. Приравняв силы, получаем Kx = hx, записав dx/dx = K/h; после интегрирования, учитывая, что в точке разрыва x = 0, получаем x = K/h*x. Тут же записываем оговоренное выше условие x <= пред, т. е. после стабилизации края бруска напряжения вблизи разрыва будут подчиняться линейному закону (рис. 14).

Для нас представляет интерес ширина раскрытия разрыва. По сути, это размер структурного элемента. Рассчитать его несложно. Не вдаваясь в подробности, отметим, что эта величина пропорциональна суммарной разгрузке напряжений вблизи разрыва, суть — высвободившейся при разрыве потенциальной энергии упругонапряженного бруска. Графически ее можно представить площадью фигуры, заштрихованной на рис. 14.

Рис. 13

Рис. 14

Итак, образовался первый разрыв. Брусок однородный и равномерно напряжен. Поэтому тут же вслед за первым разрывом в случайных местах образуются и другие разрывы. Если расстояние между двумя разрывами превышает 2l, то между ними останется неразгруженная полоса, и здесь возникнет еще один разрыв. Если это расстояние меньше 2l, то зоны разгрузки соседних разрывов перекроются и новый разрыв между ними не появится.

При принятых условиях весь брусок быстро покроется разрывами и напряжения в нем везде будут ниже критических. Максимумы напряжений будут наблюдаться посередине между разрывами, а их значения здесь будут лежать в пределах кр/2 < x < кр (рис. 15, а). Разрывы один от другого будут располагаться на расстоянии l < B < 2l. В итоге получаем отчасти закономерную пространственную структуру, но строгий порядок в ней отсутствует.

Мы рассматривали брусок бесконечной длины. В случае его конечных размеров ситуация принципиально

не меняется — края бруска при этом выполняют роль «первого» и «второго» разрыва. Реальная же первая трещина с равной вероятностью может появиться в любом месте бруска за пределами краевых зон разгрузки.

Если продолжать снижение температуры, то в этой модели при неизменных прочих параметрах новые разрывы образовываться не будут. Рост растягивающих напряжений тут же приведет к дополнительному сжатию отрезков, потому что в его основании касательные напряжения критические.

Новые разрывы, разрывы второй генерации, появятся, если по каким-либо причинам со временем будет снижаться прочность брусков. Они будут разрываться посередине в точке максимальных напряжений. В первую очередь разорвутся наиболее длинные, наименее разгруженные бруски. Распределение напряжений в образовавшихся коротких брусках при этом будет подчиняться тому же линейному закону (см. рис. 15, б).

Как только прочность на разрыв уменьшится в 2 раза по сравнению с первоначальной, начнут появляться трещины третьей генерации (см. рис. 15, в), при снижении прочности в 4 раза — четвертой генерации и т. д. (см. рис. 15, г). Последовательность появления разрывов и распределение напряжений в брусках показаны на рис. 15.

Рис. 15

В итоге мы видим структуру, состоящую из относительно мало упорядоченных в размерах ячеек первой генерации, внутри же этих ячеек взаиморасположение симметричное и строго закономерное, хотя и индивидуальное для каждой ячейки.

Теперь рассмотрим ту же задачу, но в условиях неравномерного охлаждения бруска, так, чтобы кривая распределения напряжений по длине бруска имела максимум (рис. 16, а), т. е. зададим смещение «фронта» охлаждения от центра к краям. В этом случае при снижении температуры место появления первого разрыва предопределено — он появится в точке максимума напряжений в тот момент, когда они здесь достигнут предела прочности бруска. Разрыв приведет к разгрузке напряжений в зоне бывшего максимума. В результате на расстоянии l от этой точки появятся два новых максимума напряжений (см. рис. 16, б). При дальнейшем снижении температуры напряжения достигнут и здесь предела прочности — возникнут два новых разрыва. Последующее охлаждение приведет к последовательному образованию новых разрывов, которые будут следовать один за другим на расстоянии l. В итоге такого латерального наращивания зоны охлаждения сформируется строго периодическая плотно упакованная структура (см. рис. 16, в).

Рис. 16

Теперь немного изменим постановку задачи. Пусть напряжения вдоль бруска одинаковы и нарастают равномерно, но неравномерна по длине его прочность (см. рис. 17, а). В этом случае первый разрыв возникнет в точке минимальной прочности бруска, в последующем фронт разрушений будет отодвигаться от этой точки. Каждый новый разрыв при этом будет возникать во все более напряженной части бруска. Поэтому расстояния между разрывами будут закономерно увеличиваться, так как для уравновешивания возрастающих внутренних напряжений требуется все большая сила трения и, следовательно, длина бруска. В итоге, наращивание напряжений приведет к формированию симметричной, пространственно-упорядоченной, но не периодической структуры. При удалении от первого разрыва расстояние между ними и их ширина будут нарастать (см. рис. 17, г).

Рис. 17

Зададим другие условия. Пусть температурные напряжения в бруске равномерно снижаются от центра к краям, а прочность бруска будет одинакова по всей его длине. При этом со временем она будет равномерно снижаться. Рассмотрим левую от максимума напряжений часть модели (рис. 18, а). Последовательность формирования в таких условиях структуры видна на рисунке. Расстояние между разрывами и их ширина здесь уменьшаются по мере удаления от точки первоначального максимума напряжений. Отметим, что в этом примере при снижении прочности бруска более чем в 2 раза относительно уровня, соответствующего появлению первого разрыва, в центре структуры начнут образовываться разрывы второй генерации. При снижении прочности в 4 раза появятся разрывы третьей генерации и т. д. (см. рис. 18, б—д).

Рис. 18

Рассмотренные примеры показали нам появление закономерной пространственной упорядоченности в результате явлений, изменяющихся во времени и пространстве непериодически.

Теперь рассмотрим подобный пример, но с нелинейным законом разгрузки напряжений. Примем те же условия, что и в предыдущей модели, но зададим, что бесконечный брусок жестко закреплен к недеформируемому основанию. Зададим также, что он охлаждается с поверхности, в его основании температура не меняется, а изменение температуры в толще бруска подчиняется линейному закону (это задача, которую рассматривал Б. Н. Достовалов).